10 期权定价：二叉树

真二叉树：东非多姆棕榈 (Hyphaene compressa, Doum palm)

二叉树模型

期权及其他衍生证券定价的二叉树模型的出发点是假设标的资产的价格波动服从二项分布（Binomial Distribution） 在每一次随机试验中，随机变量只有两种可能的结果，而且是互相对立的 在一系列随机试验中，随机变量的结果发生的概率保持不变 每次试验是独立的，与其它各次试验结果无关 为什么用二叉树model标的资产价格的波动？ 利用二叉树模型为风险资产估值包括以下三个步骤： 构造一个关于目标资产价格波动的二叉树 确定二叉树中每种可能结果的概率 利用每个可能的结果和对应的概率，计算目标资产在期末的期望价值

无套利定价

• 确定（组合无风险）：
• 无风险组合的价值
  • :
  • :
• 确定（组合获得无风险收益）：

一般化

构造（复制）无风险组合： 多头： 份股票 空头： 份看涨期权

• 确定（组合无风险）：

• 确定（组合获得无风险收益）：

• 令，可表示为： 。

• 讨论：是概率吗？为什么？

风险中性定价

• 假设我们生活在风险中性世界：

  • 存在风险中性概率分布，使得股票（或其他资产）的期望收益等于无风险利率

  • 计算期权（或其他衍生工具）收益现值的折现率为无风险利率

    价值			期望
    风险中性概率			不适用
    股票
    期权

• 在风险中性世界：
• 因此，期权费为：

• 风险中性定价理论有两个最基本的假设：
  • 在投资者都是风险中性的世界里，所有证券的预期收益率均为无风险收益率
  • 投资者的投资成果体现为用无风险利率贴现收益现金流得到的现值
• 无风险的套利机会出现时
  • 套利活动与参与者对风险的态度无关（套利分析未用到风险偏好信息）
  • 无套利均衡分析的过程和结果与市场参与者的风险偏好无关
  • 因此，假设风险中性世界（风险中性定价）简化分析
• 从风险中性世界进入到风险厌恶或者风险喜好的世界时：
  • （概率分布发生变化）资产的预期收益率发生变化
  • 资产任何损益（或现金流）所适用的贴现率发生改变
  • 以上两个变化效果互相抵消

欧式看涨期权

• , , 每一步长度为3个月

• 思路：逆向求解，依次计算期权在每个节点的价值

欧式看跌期权

, ，每一步长度为12个月

美式看跌期权

, ，每一步长度为12个月 需要考虑提前执行的可能性(HOW?)

确定和

• 问题？
  • 数据来自真实世界，待估参数来自风险中性世界

• Girsanov定理
  • 真实世界中与风险中性世界中资产收益率的波动率相等
  • 因此我们可以用真实世界的数据度量波动率，然后用波动率估计和以构造风险中性世界中的二叉树
• ，
  • 是标的资产收益率的波动率
  • 是步长（即相邻两节点间的时间间隔）
  • 该方法由Cox, Ross, and Rubinstein (1979)提出

其他的标的资产

• 对其他资产，用同样的方法构造二叉树，不同之处仅仅在于的计算：一般地，令

• 一些已知的结论：

  • 标的资产不产生收益：
  • 标的资产为收益率等于的股票指数：
  • 标的资产是外币（以外币计算的无风险利率为）：
  • 标的资产为期货合约：

课后阅读与练习

课堂练习

1. Explain the no-arhitrage and risk-neutral valuation approaches to valuing a European option using a one-step binomial tree.

2. What is meant by the delta of a stock option?

3. A stock price is currently $40. It is known that at the end of one month it will he either $42 or $38. The risk-free interest rate is 8% per annum with continuous compounding. What is the value of a 1-month European call option with a strike price of $39?

• 分析
  • 这是一个欧式看涨期权（一步）定价问题
  • 可以用无套利原理或风险中性定价解答

解答

• 风险中性定价
  • 确定

  • 确定和

  • 计算

• 无套利原理
  • 复制无风险资产
    • 卖出一份看涨期权，买入份股票
  • 确定

  • 确定组合价值
    • 未来：
    • 现在：

4. A stock price is currently $100. Over each of the next two 6-month periods it is expected to go up by 10% or down by 10%. The risk-free interest rate is 8% per annum with continuous compounding. What is the value of a 1-year European call option with a strike price of $100?

• 分析：
  • 本题考察欧式看涨期权定价（两步二叉树）
  • 可以用无套利原理或风险中性定价解答

解答（以风险中性定价为例）

• 确定

• 计算第一步（期）末两种状态下期权的价值

• 计算期初期权的价格

5. For the situation considered in the above problem, what is the value of a 1-year European put option with a strike price of $100? Verify that the European call and European put prices satisfy put-call parity.

• 分析：
  • 本题考察欧式看涨期权定价（两步二叉树）、看跌-看涨期权平价公式（）
  • 可以用无套利原理或风险中性定价解答

解答（以风险中性定价为例）

• 计算第一步（期）末两种状态下期权的价值

• 计算期初期权的价格

• put-call parity
  • LHS:
  • RHS:
  • , put-call parity成立

6. A stock price is currently $50. It is known that at the end of 6 months it will be either $60 or $42. The risk-free rate of interest with continuous compounding is 12% per annum. Calculate the value of a 6-month European call option on the stock with an exercise price of $48. Verify that no-arbitrage arguments and risk-neutral valuation arguments give the same answers.

解答

• 风险中性定价
  • 确定

  • 计算期权的价值

• 无套利原理
  • 复制无风险资产
    • 卖出一份看涨期权，买入份股票
  • 确定

  • 确定组合价值
    • 未来：
    • 现在：

课堂练习

• 分析
  • 本题考查欧式期权和美式期权定价的两步二叉树方法
  • 建议用风险中性定价
• 解答
  • 确定

• 解答（续）
  • 计算第二步（期）末三种状态下期权的价值

  • 计算第一步（期）末两种状态下期权的价值

• 解答（续）
  • 计算期初期权的价格

• 分析
  • 本题考察期权定价的两步二叉树方法
  • 可以用无套利原理
  • 用风险中性定价时应注意取值是否发生变化
  • 上涨和下跌概率（0.5）为冗余信息