08 期权：市场与性质

内容概要

期权（Option）的概念和分类

  • 定义：期权(option) 给其拥有者在事先确定的时间（或之前）以事先确定的价格买入或者卖出标的资产的权利（而非义务）

  • 期权构成要素

    • 标的资产：股票、外汇、股票指数、期货
    • 期权类型：看涨（call） vs. 看跌（put）
    • 执行价格（Excercise Price / Strike Price ）
    • 到期日（Expiration Date / Maturity Dat）

  • 期权的分类

    • 按权利的种类分：看涨期权（买）、看跌期权（卖）
    • 按行权有效期分：欧式期权、美式期权
    • 场外期权
      • 亚式期权：指可以按到期日之前的平均价格进行清算的期权
      • 百慕大期权：在到期日之前所规定的一系列时间执行的期权
      • 障碍期权：是一种收益取决于标的资产价格在期权存续期内是否达到某个特定价格水平(障碍价格/触发价格)的奇异期权

  • 期权与期货有何异同？

期权价格

  • 期权价格是期权买卖双方在达成期权交易时，由买方向卖方支付的购买该项期权的金额
    • 由期权买卖双方权利和义务不平等产生
    • 也被称权利金、权酬、期权手续费等
  • 期权状态（Moneyness）
    • 实值期权(In-the-money)：执行期权能产生利润
    • 平值期权(At-the-money)：执行价格等于标的资产市场价格
    • 虚值期权(Out-of-the-money)：执行期权无利可图（产生损失）
  • 期权价值
    • 内在价值/内涵价值（Intrinsic value）：如果立即行权获得的收益
    • 时间价值（Time value）：期权价格高于内在价值的部分

期权种类和期权系列


  • 期权种类（Option class）

    • 所有相同类型的（看涨期权或者看跌期权）期权被称作期权种类
    • e.g. IBM calls are one class, whereas IBM puts are another class

  • 期权系列（Option series）

    • 一个期权系列由一类期权中所有到期时间和敲定价格都相同的期权组成
    • e.g. IBM 70 October calls

期权收益 (图)


多头 空头
看涨期权
看跌期权

股利 & 股票分割


  • 假设你拥有份期权，协议价格为

    • 期权无需对现金股利做调整
    • 股票按的比率分割（每股分割为股）
      • 敲定价格将减少为
      • 期权的数量将增加到

  • 股票股利参照股票分割处理
  • 例子

    • 一个看涨期权允许持有者购买100股股票，协议价格为 $20/股

    • 期权条款该如何调整？

      • 股票按的比率分割
      • 5%的股票股利

影响期权价格的因素


Variable European call European put American call American put
Current stock price + - + -
Strike price - + - +
Time to expiration +(?) +(?) + +
Volatility + + + +
Risk-free rate + - + -
Amount of future dividends - + - +

  • 讨论：美式期权和欧式期权的价格有什么关系？

看涨期权价格的上限

  • 结论： and
  • 若 或者 ，是否存在套利机会?

    • 时：

      • 卖期权（），买股票（）
      • 剩余资金投资无风险证券（）

    • 时：

      行情 操作 利润
      交易对手放弃行权
      交易对手行权，卖出股票（）
  • 讨论：能获得正套利利润的原因是什么？

看跌期权价格的上限

  • 结论：（欧式） and （美式）
  • （以欧式看跌期权为例）若，是否存在套利机会?

    • 时：

      • 卖期权（）
      • 将所得投资无风险证券（）

    • 时：

      行情 操作 利润
      交易对手行权，买入股票（）
      交易对手放弃行权
  • 讨论：能获得正套利利润的原因是什么？如何证明对美式期权？

看涨期权价格的下限

  • 比较下面两个组合的价值：
    • 组合 A: 一份欧式看涨期权+一份时刻支付的零息债券
    • 组合 B: 一股股票
    • 组合 B': 一份时刻支付的零息债券
t = 0 t = T
ST < K ST > K
组合 A c + Ke-rT K ST
组合 B S0 ST ST
组合 B' Ke-rT K K
  • 下限：

（套利的）例子

  • 假设：. 。是否存在套利机会？如何套利？
  • 分析：本问题考察欧式看涨期权价格下限，以及相应套利策略。
  • 解答：
    • 欧式看涨期权价格下限（不被满足）

    • 套利策略

      • 时：买入一份欧式看涨期权（）和一份时刻价值的无风险债券（），卖空一股股票（），剩余资金投资无风险债券（）

      • 时：

        行情 操作 利润
        放弃行权，买入股票（）
        行权（）

看跌期权价格的下限

  • 比较下面两个组合的价值：
    • 组合 C: 一份欧式看跌期权+一股股票
    • 组合 D: 一份时刻支付的零息债券
    • 组合 D': 一股股票
t = 0 t = T
ST < K ST > K
组合 C p + S0 K ST
组合 D Ke-rt K K
组合 D' S0 ST ST
  • 下限：

（套利的）例子

  • 假设：. 。是否存在套利机会？如何套利？
  • 分析：本问题考察欧式看跌期权价格下限，以及相应套利策略。
  • 解答：
    • 欧式看跌期权价格下限（不被满足）

    • 套利策略

      • 时：融资（）买入一份欧式看跌期权（）和一股股票（）

      • 时：

        行情 操作 利润
        行权，卖出股票（），还本付息（）
        放弃行权，卖出股票（），还本付息（）

看跌期权-看涨期权平价关系(Put-Call Parity)

  • 比较组合 A & 组合 C的价值
    • 组合 A: 一份欧式看涨期权+一份时刻支付的零息债券
    • 组合 C: 一份欧式看跌期权+一股股票
    • 期末：组合 A & C 的价值均为
    • 看跌期权-看涨期权平价关系：
t = 0 t = T
ST < K ST > K
组合 A c + Ke-rt K ST
组合 C p + S0 K ST
  • （套利的）例子
    • 假设：. .
    • 若或者是否存在套利机会？如何套利？

解答

Three-month put price=$2.25
Three-month put price=$1
Action now:
 Buy call for $3
 Short put to realize $2.25
 Short the stock to realize $31
 Invest $30.25 for 3 months
Action now:
 Borrow $29 for 3 months
 Short call to realize $2.25
 Buy put for $1
 Buy the stock for $31
Action in 3 months if ST >30:
 Receive $31.20 from investment
 Exercise call to buy stock for $30
 Net profit=$1.02
Action in 3 months if ST >30:
 Call exercised: sell stock for $30
 Use $29.73 to repay loan
 Net profit=$0.27
Action in 3 months if ST <30:
 Receive $31.20 from investment
 Put exercised: buy stock for $30
 Net profit=$1.02
Action in 3 months if ST <30:
 Exercise put to sell stock for $30
 Use $29.73 to repay loan
 Net profit=$0.27

看跌期权-看涨期权平价关系？

美式看涨期权（标的资产无股息）：提前执行的决策

  • 如果投资者希望获得标的资产
    • 在时刻执行可以推迟现金支付
    • 等待更好地机会（）
  • 如果标的资产被高估(时)：与其提前执行（然后卖掉股票）不如直接卖掉期权
  • 结论：若标的资产不产生股息，提前执行美式看涨期权都不是最优的

美式看跌期权：提前执行的决策

  • 提前执行标的资产不支付股息的美式看跌期权可能是最优的
  • 深度实值的美式看跌期权总是应该提前执行的
  • 一般地，当降低（提前行权收益增加）、波动率减少时（期权价值降低），无风险回报率升高（货币时间价值超过期权时间价值），提前执行美式看跌期权都会变得有吸引力

股息的影响

  • 看涨期权价格的下限
    • 组合 A: 一份欧式看涨期权+一份当前价值为的零息债券
    • 组合 B: 一股股票

  • 看跌期权价格的下限
    • 组合 C: 一份欧式看跌期权+一股股票
    • 组合 D: 一份当前价值为的零息债券

  • 提前执行：（因为直接卖出期权不一定更划算）可能提前执行
  • 看跌期权-看涨期权平价关系

课后阅读与练习

课堂练习

  1. What is a lower bound for the price of a 4-month call option on a non-dividend-paying stock when the stock price is $28, the strike price is $25, and the risk-free interest rate is 8% per annum?
  • 分析：该问题考察看涨期权价格下限
  • 解答：

  1. Give two reasons why the early exercise of an American call option on a non-dividendpaying stock is not optimal. The first reason should involve the time value of money. The second should apply even if interest rates are zero.
  1. A European call option and put option on a stock both have a strike price of $20 and an expiration date in 3 months. Both sell for $3. The risk-free interest rate is 10% per annum, the current stock price is $19, and a $1 dividend is expected in 1 month. Identify the arbitrage opportunity open to a trader.
  • 分析：本问题考察标的资产支付股息的看跌-看涨期权平价关系

  • 解答：

    • ，存在套利机会。

套利策略

  • 时:

    • 融资（）买入一份看跌期权（）和一股股票（），卖出一份看涨期权（）

  • month时:

    • 收到股息 （），偿还贷款本息（），未偿债务余额为：（时）

  • month时:

    行情 操作 套利利润
    看涨期权放弃行权，执行看跌期权卖出股票（），偿还债务本息（）
    看跌期权放弃执行，交易对手执行看涨期权买入股票（），偿还债务本息（）
  1. Suppose that , , and are the prices of European call options with strike prices, , and , respectively, where and . All options have the same maturity. Show that

  • Hint: Consider a portfolio that is long one option with strike price , long one option with strike price , and short two options with strike price .

  • 解答：

    • 时：

      头寸
      Long: call()
      Short: 2 calls()
      Long：call()
      portfolio

    • 时：
  1. 一份6个月到期的协议价格为$30的欧式看涨期权的当前市场价格为$2。已知标的股票的当前市场价格为$29，标的股票将于第2个月和第5个月末分别支付$0.5的股利。假设无风险利率为2%（连续复利），试计算6个月到期的协议价格为$30的欧式看跌期权的价格（列出表达式即可）。
  • 分析：本问题考察标的资产支付股息的看跌-看涨期权平价关系

  • 解答：

课后阅读与练习

  • 课后阅读：教材第十一章第一、二节相关内容

  • 练习

    • 教材pp185-186：1，3，4，5，8
    • 扫码做题