L08 期权：市场与性质

期权基础

期权（Option）定义

期权(option) 给其拥有者在事先确定的时间（或之前）以事先确定的价格买入或者卖出标的资产的权利（而非义务）

  • 期权的标的资产: 股票、外汇、股票指数、期货

  • 期权的其他要素

    • Call（看涨期权） or Put（看跌期权）
    • American（美式期权） vs. European（欧式期权）
    • Excercise Price（执行价格） or Strike Price （敲定价格）
    • Expiration Date（到期日） or Maturity Date（满期日）

  • 期权与期货有何异同？

期权收益 (图)


多头 空头
看涨期权
看跌期权

术语

  • 期权种类（Option class）
    • 所有相同类型的（看涨期权或者看跌期权）期权被称作期权种类
    • e.g. IBM calls are one class, whereas IBM puts are another class
  • 期权系列（Option series）
    • 一个期权系列由一类期权中所有到期时间和敲定价格都相同的期权组成
    • e.g. IBM 70 October calls
  • 期权的价值
    • 内涵价值（Intrinsic value）: 如果现在立刻执行期权所具有的价值与0之间的大者
    • 时间价值（Time value）
  • Moneyness
    • 平值期权（At-the-money option）
    • 实值期权（In-the-money option）
    • 虚值期权（Out-of-the-money option）

股利 & 股票分割

  • 假设你拥有份期权，协议价格为

    • 期权无需对现金股利做调整

    • 股票按的比率分割（每股分割为股）

      • 敲定价格将减少为
      • 期权的数量将增加到

    • 股票股利参照股票分割处理

  • 例子

    • 一个看涨期权允许持有者购买100股股票，协议价格为 $20/股
    • 期权条款该如何调整？
      • 股票按的比率分割
      • 5%的股票股利

股票期权的性质

影响期权价格的因素


Variable European call European put American call American put
Current stock price + - + -
Strike price - + - +
Time to expiration +(?) +(?) + +
Volatility + + + +
Risk-free rate + - + -
Amount of future dividends - + - +
  • vs. ?
  • vs. ?

期权价格的上下限

期权价格的上限

  • 看涨期权

    • and
    • 若 或者 ，是否存在套利机会?
    • 提示：卖出看涨期权同时买入股票

  • 看跌期权

    • and
    • 若 或者 ，是否存在套利机会?
    • 提示：卖出看跌期权同时投资到无风险资产

看涨期权价格的下限

  • 比较下面两个组合的价值：
    • 组合 A: 一份欧式看涨期权+一份时刻支付的零息债券
    • 组合 B: 一股股票
    • 组合 B': 一份时刻支付的零息债券
t = 0 t = T
ST < K ST > K
组合 A c + Ke-rT K ST
组合 B S0 ST ST
组合 B' Ke-rT K K
  • 下限：
  • （套利的）例子
    • 假设：. 。
    • 是否存在套利机会？如何套利？

看跌期权价格的下限

  • 比较下面两个组合的价值：
    • 组合 C: 一份欧式看跌期权+一股股票
    • 组合 D: 一份时刻支付的零息债券
    • 组合 D': 一股股票
t = 0 t = T
ST < K ST > K
组合 C p + S0 K ST
组合 D Ke-rt K K
组合 D' S0 ST ST
  • 下限：
  • （套利的）例子
    • 假设：. .
    • 是否存在套利机会？如何套利？

看跌期权-看涨期权平价关系(Put-Call Parity)

  • 比较组合 A & 组合 C的价值
    • 组合 A: 一份欧式看涨期权+一份时刻支付的零息债券
    • 组合 C: 一份欧式看跌期权+一股股票
    • 期末：组合 A & C 的价值均为
    • 看跌期权-看涨期权平价关系：
t = 0 t = T
ST < K ST > K
组合 A c + Ke-rt K ST
组合 C p + S0 K ST
  • （套利的）例子
    • 假设：. .
    • 若或者是否存在套利机会？如何套利？
Three-month put price=$2.25
Three-month put price=$1
Action now:
 Buy call for $3
 Short put to realize $2.25
 Short the stock to realize $31
 Invest $30.25 for 3 months
Action now:
 Borrow $29 for 3 months
 Short call to realize $2.25
 Buy put for $1
 Buy the stock for $31
Action in 3 months if ST >30:
 Receive $31.20 from investment
 Exercise call to buy stock for $30
 Net profit=$1.02
Action in 3 months if ST >30:
 Call exercised: sell stock for $30
 Use $29.73 to repay loan
 Net profit=$0.27
Action in 3 months if ST <30:
 Receive $31.20 from investment
 Put exercised: buy stock for $30
 Net profit=$1.02
Action in 3 months if ST <30:
 Exercise put to sell stock for $30
 Use $29.73 to repay loan
 Net profit=$0.27

美式期权的性质

看跌期权-看涨期权平价关系？

美式看涨期权（标的资产无股息）：提前执行的决策

  • 如果投资者希望获得标的资产
    • 在时刻执行可以推迟现金支付
    • 等待更好地机会（）
  • 如果标的资产被高估(时)：与其提前执行（然后卖掉股票）不如直接卖掉期权
  • 结论：若标的资产不产生股息，提前执行美式看涨期权都不是最优的

美式看跌期权：提前执行的决策

  • 提前执行标的资产不支付股息的美式看跌期权可能是最优的
  • 深度实值的美式看跌期权总是应该提前执行的
  • 一般地，当减少、减少或波动率增加时，提前执行美式看跌期权都会变得有吸引力

股息的影响

  • 看涨期权价格的下限
    • 组合 A: 一份欧式看涨期权+一份当前价值为的零息债券
    • 组合 B: 一股股票

  • 看跌期权价格的下限
    • 组合 C: 一份欧式看跌期权+一股股票
    • 组合 D: 一份当前价值为的零息债券

  • 提前执行：（因为直接卖出期权不一定更划算）可能提前执行
  • 看跌期权-看涨期权平价关系

课后阅读与练习

课堂练习

[1] What is a lower bound for the price of a 4-month call option on a non-dividend-paying stock when the stock price is $28, the strike price is $25, and the risk-free interest rate is 8% per annum?

[2] Give two reasons why the early exercise of an American call option on a non-dividendpaying stock is not optimal. The first reason should involve the time value of money. The second should apply even if interest rates are zero.

[3] A European call option and put option on a stock both have a strike price of $20 and an expiration date in 3 months. Both sell for $3. The risk-free interest rate is 10% per annum, the current stock price is $19, and a $1 dividend is expected in 1 month. Identify the arbitrage opportunity open to a trader.

[4] Suppose that , , and are the prices of European call options with strike prices, , and , respectively, where and . All options have the same maturity. Show that

(Hint: Consider a portfolio that is long one option with strike price , long one option with strike price , and short two options with strike price .)

[5] 一份6个月到期的协议价格为$30的欧式看涨期权的当前市场价格为$2。已知标的股票的当前市场价格为$29，标的股票将于第2个月和第5个月末分别支付$0.5的股利。假设无风险利率为2%（连续复利），试计算6个月到期的协议价格为$30的欧式看跌期权的价格（列出表达式即可）。

课后阅读与练习

  • 课后阅读：教材第十一章第一、二节相关内容

  • 练习

    • 教材pp185-186：1，3，4，5，8
    • 扫码做题