专题：因子投资

本专题内容主要取材于：石川，刘洋溢，连祥斌. 因子投资：方法与实践[M]. 电子工业出版社，2020.

专题：因子投资
- 因子投资基础
  - 因子、多因子模型和异象
  - 实证资产定价与因子投资
- 因子投资方法论

因子投资基础

理论（APT）
$\begin{equation} E[R^e_{i}]=\boldsymbol{\beta}_i'\boldsymbol{\lambda} \end{equation}$
实际
$E[R^e_{i}]=\alpha_i+\boldsymbol{\beta}_i'\boldsymbol{\lambda}$
- 模型设定偏误，即式（1）右侧遗漏了重要的因子。当被遗漏的因子被加入后，即可消除误差。
- 模型本身没有问题，但由于资产收益率的实际数据仅仅是总体的一个样本，因此误差总是存在的。这时需要通过统计方法检验误差 $\alpha_i$ $α_{i}$ 是否显著不为零：
  - 如果 $\alpha_i$ 并非显著的偏离零，那么可以认为它的出现仅仅是因为运气的原因
  - 如果 $\alpha_i$ 显著偏离零，它则代表了某个可以通过套利而获得超额收益的机会；它也同时说明由于某些原因，市场对该资产出现错误定价（mispricing），从而导致其实际预期收益率和多因子模型下的预期收益率出现
    了偏离。

因子、多因子模型和异象

因子（factor）：一个因子描述了众多资产共同暴露的某种系统性风险，该风险是资产收益率背后的驱动力；因子收益率正是这种系统性风险的风险溢价或风险补偿，它是这些资产的共性收益。
- 因子驱动了资产收益率的共同运动（co-movement），因此因子一定和资产收益率的协方差矩阵有关；
- 从长期来看因子是可以获得正收益的，这意味着因子必须是被定价的。
因子模型（factor model）：若干个因子放在一起使用
- 因子模型应考虑：独立性和简约性（parsimony）
异象（anomaly）与异象变量：现实中无法被多因子模型解释的（显著不为零的）预期收益
- 异象（资产）：
  - 根据某一特征构造的多空组合
  - 预期收益率中存在一部分无法被多因子模型解释且显著为正
- 异象变量：构建异象（组合）的指标
因子投资的内容
- 因子模型（ $\bm{\beta}_i'\bm{\lambda}$ $β_{i}^{'} λ$ ）：
  - 寻找好的多因子模型
  - 理解因子的经济意义及性质
  - 主动基金管理人的业绩归因
  - 获取超过基准的收益
- 异象（ $\alpha_i$ $α_{i}$ ）：
  - 研究市场效率
  - 研究多因子模型
- 横截面vs时间序列：

实证资产定价与因子投资

因子投资方法论

投资组合排序法

因子模拟投资组合（factor mimicking portfolio）

因子模拟投资组合是使用股票资产、围绕某目标因子构建的投资组合；该投资组合需满足以下两个条件：
- 该投资组合仅在目标因子上有大于零的暴露、在其他因子上的暴露为零；
- 在所有满足上一条件的投资组合中，该投资组合的特质性风险（idiosyncratic risk）最小。

排序法及其检验

排序法的步骤
- 排序：按变量将股票排序
- 分组：把股票依排序分组构建投资组合
- 更新：定期更新投资组合
排序法的检验
- 模拟投资组合收益率均值显著性检验：t检验
  $\begin{aligned} \hat{\lambda} &=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \lambda_t \\ \text { s.e. }(\hat{\lambda}) &=\frac{\operatorname{std}\left(\lambda_t\right)}{\sqrt{T}}\\ t &= \frac{\hat{\lambda}}{\text { s.e. }(\hat{\lambda})} \end{aligned}$
- 投资组合收益的单调性：秩相关系数（rank correlation coefficient）检验
  - 将 $L$ 个投资组合的收益率的高低排位记为 $X_r$
  - 将 $L$ 个投资组合依排序变量的分组的高低排位记为 $X_g$
  - Spearman秩相关系数
    $\rho_s=\frac{\operatorname{cov}\left(X_r, X_g\right)}{\sigma_{X_r} \sigma_{X_g}}$

例子

t检验

	Low	1	2	3	4	5	6	7	8	High	High-Low
均值(%)	0.57	0.53	0.57	0.72	0.94	0.90	1.08	1.32	1.21	1.44	0.88
标准误(%)	0.57	0.56	0.55	0.58	0.56	0.53	0.57	0.58	0.56	0.58	0.47
t-值	1.00	0.95	1.03	1.24	1.69	1.69	1.90	2.27	2.15	2.48	1.85
p-值	0.32	0.35	0.30	0.22	0.09	0.09	0.06	0.02	0.03	0.01	0.07

Spearman秩相关系数
$\rho_s=\frac{\operatorname{cov}\left(X_r, X_g\right)}{\sigma_{X_r} \sigma_{X_g}}=0.94\text{, }p\text{-value}=5.48×10^{−5}$

多重排序法

独立双重排序中：使用两个排序变量分别独立地对股票分组再两两取交集。
$\begin{aligned} \lambda_{X_1 t}&=\frac{1}{L_2} \sum_{i=1}^{L_2} R_{L_1 i, t}-\frac{1}{L_2} \sum_{i=1}^{L_2} R_{1 i, t}=\frac{1}{L_2} \sum_{i=1}^{L_2}\left(R_{L_1 i, t}-R_{1 i, t}\right)\\ \lambda_{X_2 t}&=\frac{1}{L_1} \sum_{i=1}^{L_1} R_{i L_2, t}-\frac{1}{L_1} \sum_{i=1}^{L_1} R_{i 1, t}=\frac{1}{L_1} \sum_{i=1}^{L_1}\left(R_{i L_2, t}-R_{i 1, t}\right) \end{aligned}$

条件双重排序：按照给定的顺序先后使用两个变量对股票进行排序。

多因子模型的回归检验

多因子模型的回归检验步骤：
- 计算每个资产在所有因子上的暴露 $\beta_i$ ；
- 通过回归分析对多因子模型进行估计；
- 联合检验资产定价误差 $\alpha_i$ 以及每个因子的预期收益率 $\lambda_k$ 。

时间序列回归

使用因子收益率作为自变量（independent variable）或解释变量（explanatory variable），以资产的超额收益率作为因变量（dependent variable）或被解释变量（explained variable）
- 适合分析由风格因子构成的多因子模型
- 不适合其他类因子（e.g.宏观因子）

时间序列回归研究方法
- 模型（ $\forall i=1,2,\dots,N$ ）
  $R_{i t}^e=\alpha_i+\boldsymbol{\beta}_i^{\prime} \boldsymbol{\lambda}_t+\varepsilon_{i t}, \quad t=1,2, \cdots, T$
- 估计
  - $\hat{\boldsymbol{\alpha}},\hat{\boldsymbol{\beta}}$ : OLS
  - $E_T\left[R_i^e\right]=\hat{\alpha}_i+\hat{\boldsymbol{\beta}}_i^{\prime} \hat{\boldsymbol{\lambda}}, \quad i=1,2, \cdots, N$
  - $\hat{\lambda}_k=E T\left[\lambda_{k t}\right], \quad k=1,2, \cdots, K$
- 检验：GRS检验（Gibbons et al. 1989）
  - 假设： $\varepsilon_{it}$ 不存在自相关（autocorrelation）或异方差（heteroskedasticity），满足IID正态分布
  - $H_0:\alpha_i=0,\text{ }\forall i$
  - GRS检验统计量（F-检验）
    $\left\{ \begin{aligned} &\frac{T-N-K}{N}\left(1+E\left[\boldsymbol{\lambda}_t\right]^{\prime} \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_\lambda^{-1} E\left[\boldsymbol{\lambda}_t\right]\right)^{-1} \hat{\boldsymbol{\alpha}}^{\prime} \hat{\boldsymbol{\Sigma}}^{-1} \hat{\boldsymbol{\alpha}} \sim F_{N, T-N-K} \\ &\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_\lambda=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T\left[\boldsymbol{\lambda}_t-E\left[\boldsymbol{\lambda}_t\right]\left[\boldsymbol{\lambda}_t-E\left[\boldsymbol{\lambda}_t\right]^{\prime}\right.\right. \\ &\hat{\boldsymbol{\Sigma}}=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \hat{\varepsilon}_t \hat{\varepsilon}_t^{\prime} \end{aligned}\right.$
  - 总结
    - 因子收益率时序需已知
    - 将时序回归结果在时间上取均值，就得到资产预期收益率和因子暴露在截面上的关系
    - 通过GRS方法构建F-统计量来检验 $\alpha_i$ 联合是否在统计上为零

截面回归

模型
- 第一步（时间序列回归）
  $R_{i t}^e=a_i+\beta_i^{\prime} f_t+\varepsilon_{i t}, \quad t=1,2, \cdots, T, \forall i$
- 第二步（横截面回归）
  - 无截距项
    $E_T\left[R_i^e\right]=\hat{\boldsymbol{\beta}}_i^{\prime} \boldsymbol{\lambda}+\alpha_i, \quad i=1,2, \cdots, N$
  - 含截距项
    $E_T\left[R_i^e\right]=\gamma+\hat{\boldsymbol{\beta}}_i^{\prime} \boldsymbol{\lambda}+\alpha_i, \quad i=1,2, \cdots, N$
估计
- OLS
  - 参数
    $\left\{ \begin{aligned} &\hat{\boldsymbol{\lambda}}=\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}^{\prime} \hat{\boldsymbol{\beta}}\right)^{-1} \hat{\boldsymbol{\beta}}^{\prime} E_T\left[\boldsymbol{R}^e\right] \\ &\hat{\boldsymbol{\alpha}}=E_T\left[\boldsymbol{R}^e\right]-\hat{\boldsymbol{\beta}} \hat{\boldsymbol{\lambda}} \end{aligned}\right.$
  - 方差
    $\left\{ \begin{aligned} &\operatorname{cov}(\hat{\lambda})=\frac{1}{T}\left[\left(\hat{\beta}^{\prime} \hat{\beta}\right)^{-1} \hat{\beta}^{\prime} \Sigma \hat{\beta}\left(\hat{\beta}^{\prime} \hat{\beta}\right)^{-1}+\Sigma_f\right] \\ &\operatorname{cov}(\hat{\alpha})=\frac{1}{T}\left[I-\hat{\beta}(\hat{\beta} \hat{\beta})^{-1} \tilde{\beta}^{\prime}\right] \Sigma\left[I-\hat{\beta}\left(\hat{\beta}^{\prime} \hat{\beta}\right)^{-1} \hat{\beta}^{\prime}\right]^{\prime} \end{aligned}\right.$
  - Shanken修正
    $\left\{ \begin{aligned} &\operatorname{cov}(\hat{\boldsymbol{\lambda}})=\frac{1}{T}\left[\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}^{\prime} \hat{\boldsymbol{\beta}}\right)^{-1} \hat{\boldsymbol{\beta}}^{\prime} \Sigma \hat{\boldsymbol{\beta}}\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}^{\prime} \hat{\boldsymbol{\beta}}\right)^{-1}\left(1+\boldsymbol{\lambda}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}_f^{-1} \boldsymbol{\lambda}\right)+\boldsymbol{\Sigma}_f\right] \\ &\operatorname{cov}(\hat{\boldsymbol{\alpha}})=\frac{1}{T}\left[I-\hat{\boldsymbol{\beta}}\left(\hat{\beta}^{\prime} \hat{\beta}\right)^{-1} \hat{\beta}^{\prime}\right] \Sigma\left[I-\hat{\beta}\left(\hat{\beta}^{\prime} \hat{\beta}\right)^{-1} \hat{\beta}^{\prime}\right]^{\prime}\left(1+\lambda^{\prime} \Sigma_f^{-1} \lambda\right) \end{aligned}\right.$
- GLS
  - 参数
    $\left\{ \begin{aligned} &\hat{\lambda}_{\mathrm{GLS}}=\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \hat{\boldsymbol{\beta}}\right)^{-1} \hat{\boldsymbol{\beta}}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} E_T\left[\boldsymbol{R}^e\right] \\ &\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{GLS}}=E_T\left[\boldsymbol{R}^e\right]-\hat{\boldsymbol{\beta}} \hat{\boldsymbol{\lambda}}_{\mathrm{GLS}} \end{aligned}\right.$
  - 方差（含Shanken修正）
    $\left\{ \begin{aligned} &\operatorname{cov}\left(\hat{\boldsymbol{\lambda}}_{\mathrm{GLS}}\right)=\frac{1}{T}\left[\left(\hat{\beta}^{\prime} \Sigma^{-1} \hat{\boldsymbol{\beta}}\right)^{-1}\left(1+\lambda_{\mathrm{GLS}}^{\prime} \Sigma_f^{-1} \boldsymbol{\lambda}_{\mathrm{GLS}}\right)+\Sigma_f\right] \\ &\operatorname{cov}\left(\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{GLS}}\right)=\frac{1}{T}\left(\boldsymbol{\Sigma} \hat{\boldsymbol{\beta}}\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}^{\prime} \Sigma^{-1} \hat{\boldsymbol{\beta}}\right)^{-1} \hat{\boldsymbol{\beta}}^{\prime}\right)\left(1+\lambda_{\mathrm{GLS}}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}_f^{-1} \boldsymbol{\lambda}_{\mathrm{GLS}}\right) \end{aligned}\right.$
检验
- OLS
  $\hat{\boldsymbol{\alpha}}^{\prime} \operatorname{cov}(\hat{\boldsymbol{\alpha}})^{-1} \hat{\boldsymbol{\alpha}} \sim \chi_{N-K}^2$
- GLS
  $\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{GLS}}^{\prime} \operatorname{cov}\left(\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{GLS}}\right)^{-1} \hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{GLS}} \sim \chi_{N-K}^2$
- 总结
  - 截面回归不要求因子的收益率时间序列已知，因此应用更加广泛
  - 截面回归又被称作两步回归估计（two-pass regression
    estimate）
  - OLS vs. GLS
  - Shanken修正

Fama–MacBeth回归

模型
- 第一步（时间序列回归）
  $R_{i t}^e=a_i+\beta_i^{\prime} f_t+\varepsilon_{i t}, \quad t=1,2, \cdots, T, \forall i$
- 第二步（横截面回归）
  - 无截距项
    $R_{it}^e=\hat{\boldsymbol{\beta}}_i^{\prime} \boldsymbol{\lambda}+\alpha_{it}, \quad i=1,2, \cdots, N,\text{ and }t=1,2,\dots,T$
  - 含截距项
    $R_{it}^e=\gamma_t+\hat{\boldsymbol{\beta}}_i^{\prime} \boldsymbol{\lambda}+\alpha_{it}, \quad i=1,2, \cdots, N,\text{ and }t=1,2,\dots,T$
估计
- 参数
  $\left\{ \begin{aligned} & \hat{\boldsymbol{\lambda}}=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \hat{\boldsymbol{\lambda}}_t \\ & \hat{\alpha}_i=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \hat{\alpha}_{i t} \end{aligned}\right.$
- 方差
  $\left\{ \begin{aligned} & \sigma\left(\hat{\lambda}_k\right)=\left[\frac{1}{T^2} \sum_{t=1}^T\left(\hat{\lambda}_{k t}-\hat{\lambda}_k\right)^2\right]^{1 / 2} \\ & \sigma\left(\hat{\alpha}_i\right)=\left[\frac{1}{T^2} \sum_{t=1}^T\left(\hat{\alpha}_{i t}-\hat{\alpha}_i\right)^2\right]^{1 / 2} \\ & \hat{\boldsymbol{\alpha}}=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \hat{\boldsymbol{\alpha}}_t \\ & \operatorname{cov}(\hat{\boldsymbol{\alpha}})=\frac{1}{T^2} \sum_{t=1}^T\left(\hat{\boldsymbol{\alpha}}_t-\hat{\boldsymbol{\alpha}}\right)\left(\hat{\boldsymbol{\alpha}}_t-\hat{\boldsymbol{\alpha}}\right)^{\prime} \end{aligned}\right.$
检验
$\hat{\boldsymbol{\alpha}}^{\prime} \operatorname{cov}(\hat{\boldsymbol{\alpha}})^{-1} \hat{\boldsymbol{\alpha}} \sim \chi_{N-K}^2$
特点与优点
- Fama–MacBeth截面回归是“先估计、再均值”，而传统截面回归是“先均值，再估计”
- 可以排除 $\alpha_{it}$ 的相关性对标准误的影响
不足
- 对于 $\alpha_{it}$ 在时序上的相关性无能为力
- 由于截面回归中用到的 $\hat{\beta}_i$ 并不是真实的，而是通过时间序列得到的估计值，因此存在误差

异象检验

时序回归检验异象

构造异象资产（投资组合）
- 选择一个潜在的财务指标或者量价指标，以它作为异象变量（anomaly variable）。
- 根据异象变量取值的高低，将股票在截面上排序，使用排序法构建异象投资组合，并获得异象收益率的时间序列。
- 检验该异象收益率能否被多因子模型解释。
检验
- 模型
  $R^e_t=\hat{\alpha}+\boldsymbol{\hat{\beta}}_a^\prime\boldsymbol{\lambda}_t+\hat{\varepsilon}_t,\text{ }t=1,2,\dots,T$
- $H_0: \alpha=0$
- 统计量：t-统计量
- 自相关与异方差：Newey-West调整

截面回归检验异象

Fama-MacBeth截面回归
- 解释变量：定价因子+异象因子
- 被解释变量：（个股或投资组合）超额回报
检验
- t-检验
- 自相关与异方差：Newey-West调整

多因子模型的比较

GRS检验

$\left\{ \begin{aligned} &\frac{T-N-K}{N}\left(1+E\left[\boldsymbol{\lambda}_t\right]^{\prime} \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_\lambda^{-1} E\left[\boldsymbol{\lambda}_t\right]\right)^{-1} \hat{\boldsymbol{\alpha}}^{\prime} \hat{\boldsymbol{\Sigma}}^{-1} \hat{\boldsymbol{\alpha}} \sim F_{N, T-N-K} \\ &\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_\lambda=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T\left[\boldsymbol{\lambda}_t-E\left[\boldsymbol{\lambda}_t\right]\left[\boldsymbol{\lambda}_t-E\left[\boldsymbol{\lambda}_t\right]^{\prime}\right.\right. \\ &\hat{\boldsymbol{\Sigma}}=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \hat{\varepsilon}_t \hat{\varepsilon}_t^{\prime} \end{aligned}\right.$

均值—方差张成检验

检验：N+K个资产张成的最小方差前沿是否由于原N个资产张成的最小方差前沿

$\alpha$ 检验

时序回归：单独对待每个资产（ $i$ $i$ ）的 $\alpha_i$ $α_{i}$
- 被解释变量：超额回报
- 解释变量：待检验多因子模型
- 统计量：t-统计量

贝叶斯方法

多因子模型
$\boldsymbol{R}_t^e=\boldsymbol{\alpha}+\beta \lambda_t+\varepsilon_t$
先验分布
- $\beta, \boldsymbol{\Sigma}$ 满足特定的非正常先验分布
- $\alpha$ (在备择假设下)满足多元正态条件分布
  $f(\alpha \mid \beta, \Sigma)=N(0, \tau \Sigma)$
边际似然函数
$\operatorname{prob}\left(D \mid \mathcal{M}_i\right)=\iint f\left(\boldsymbol{D} \mid \mathcal{M}_i, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\Sigma}\right) f(\boldsymbol{\alpha} \mid \boldsymbol{\beta}, \Sigma) f(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\Sigma}) d \boldsymbol{\alpha} d \boldsymbol{\beta} d \boldsymbol{\Sigma}$
后验概率之比满足:
$\frac{\operatorname{prob}\left(\mathcal{M}_i \mid \boldsymbol{D}\right)}{\operatorname{prob}\left(\mathcal{M}_j \mid \boldsymbol{D}\right)}=\frac{\operatorname{prob}\left(\mathcal{M}_i\right)}{\operatorname{prob}\left(\mathcal{M}_j\right)} \frac{\operatorname{prob}\left(\boldsymbol{D} \mid \mathcal{M}_i\right)}{\operatorname{prob}\left(\boldsymbol{D} \mid \mathcal{M}_j\right)}$

专题： 因子投资