L07 远期与期货：定价

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• L07 远期与期货：定价
  • 预备知识
    • 预备知识
    • 无套利定价的思想
  • 无套利定价：标的资产无收益
    • 假设与符号
    • 定价公式
    • 定价公式：另一种理解（复制）
  • 扩展与应用
    • 标的资产收入（收益率）已知
    • 定价公式
    • 远期合约的定价
    • 远期价格与期货价格
    • 股票指数
    • 股指套利
    • 货币远期（期货）
    • 储存成本
    • 持有成本
    • 期货价格与未来现货价格的期望
  • 课后阅读与练习
    • 课后阅读与练习
    • 课堂练习

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预备知识

预备知识

• 消费资产与投资资产

  • 投资资产（investment assets） 指由充分多的人完全因投资目的持有的资产 （比如黄金、白银）
  • 消费资产（consumption assets） 指主要因消费目的持有的资产（比如玉米、原油）

• 卖空（Short Selling）

  • 卖空涉及到卖出本身不拥有的证券
  • 通常通过融券并卖出的方式实现
  • 在某个时刻卖空投资者必须买入资产并将之归还
  • 被卖空的资产若产生收益，卖空交易者必须将其付给收益权所有者
  • 融券需支付费用

无套利定价的思想

市场均衡时所有证券都会被正确地定价，使所有的套利策略的回报都非正

• 两个组合，如果现在（将来）价值相等，未来（现在）其价值也相等

• 两个组合，现在（将来）价值大的未来（现在）其价值也更大

• 两个组合，现在（将来）价值小的未来（现在）其价值也更小

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无套利定价：标的资产无收益

假设与符号

• 假设

  • [1] 无交易费用
  • [2] 每个参与者适用的税率相同
  • [3] 投资者可以以相同的无风险利率投资和融资
  • [4] 一旦套利机会出现即会被投资者利用

• 符号

  • $T$：距离远期或期货合约交割日期的时间（年）
  • $S_0$：当前时刻远期或期货的标的资产的市场价格
  • $F_0$：当前时刻的远期或期货价格
  • $r$：以连续复利计算的无风险利率

例子

• 例子

  • 一个无股息股利的股票的现价为$40
  • 3个月的远期价格为US$39
  • 1年期的无风险利率为5% (以连续复利计算)

• 存在套利机会吗？如何套利？

• 如果远期价格为US$43呢？

定价公式

• 如何套利？（零投资，低买高卖，获得套利利润）

• 均衡时无套利机会：所有套利方式得到的利润都非正

  • 若远期被低估：买远期卖现货，套利利润为$S_0e^{rT}-F$
  • 若远期被高估：卖远期买现货，套利利润为$F-S_0e^{rT}$
  • 无套利机会：
    $$\text { （现货-期货平价定理） }\left\{\begin{array}{l} S_0 e^{r T}-F \leq 0 \\ F-S_0 e^{r T} \leq 0 \end{array} \Longrightarrow \color{red}{F=S_0 e^{r T}}\right.$$

• 如果卖空不被允许，公式对投资资产依然成立

  • 拥有资产的投资者仍然可以套利
  • 不拥有资产但拥有投资能力的个人/机构可以卖出套利策略

定价公式：另一种理解（复制）

The big idea： 用含有衍生工具的组合复制标的资产

• 考虑下面两个组合

  • 组合A：一份标的资产
  • 组合B：一份远期协议+价值为$Fe^{-rT}$的现金

• 组合在期末的价值

  • 组合A：一份标的资产，价值为$S_T$
  • 组合B：现金期末价值为$F$，正好通过远期协议购买标的资产，其价值为$S_T$
  • 组合A与组合B价值相等

• 组合在期初的价值

  • 组合A：$S_0$
  • 组合B：$Fe^{-rT}$

• 由无套利原理知：
  $$Fe^{-rT}=S_0\Longrightarrow\color{red}{F=S_0e^{rT}}$$

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扩展与应用

标的资产收入（收益率）已知

例子：

• 一个附息债券，当前价格为$900
• 债券将在4个月后支付利息$40
• 4个月和9个月的无风险利率分别为3%和4%（以连续复利计算）
• 以该附息债券为标的资产的9个月后到期的远期价格为$910（太高） 或$870（太低）时如何套利?

定价公式

• 定价公式：在远期合约期间，若标的资产支付收入的现值为$I$，远期价格为：
  $$F_0=(S_0-I)e^{rT}$$

  • 如何构造套利策略？
  • 此时如何构造如之前例子中的组合A组合B？

• 如果标的资产的收益率为$q$，远期价格为：
  $$F_0=S_0e^{(r-q)T}$$

远期合约的定价

• 在远期合约被创造出来时（除了买卖差价，bid-offer spread）其价值为零

• 在被创造出来之后，远期合约的价值可正可负

• 假设$K$是协议中规定的交割价格，$F_0$是今天达成的远期协议规定的远期（交割）价格

• 考虑交割价格为$K$以及为$F_0$的两份远期合约，我们可以得到：

  • 远期协议多头的价值为：
    $$(F_0-K)e^{-rT}$$
  • 远期协议空头的价值为：
    $$(K-F_0)e^{-rT}$$

远期价格与期货价格

• 通常假设标的资产、到期时间都相同的远期和期货其价格相同

• 理论上，当利息率不确定时，两者有少许差别（为什么会有差别？）：

  • 当利率与资产价格强烈正相关时，期货价格大于远期价格
  • 当利率与资产价格强烈负相关时，期货价格小于远期价格

股票指数

• 股票指数可被看做支付收益率的投资资产
• 股指期货与现货价格间的关系为：
  $$F_0 = S_0 e^{(r-q )T}$$
  其中$q$为合约期间指数组合的平均股息率
• 指数必须是一个投资资产
• 指数的变动必须对应某一可交易的组合价值的变动

股指套利

• 当$F_0 > S_0e^{(r-q)T}$时，套利者买股指卖期货
• 当$F_0 < S_0e^{(r-q)T}$时，套利者卖股指买期货
• 股指套利涉及到同时交易股指期货以及许多不同的股票
• 股指套利常常由计算机（算法）生成交易
• 有时无法同时进行交易，此时现货与期货价格间的关系不成立

货币远期（期货）

• 外币类似于产生收益的证券
• 其收益率为外币无风险利率
• 如果$r_f$是外币无风险利率：$F_0=S_0e^{(r-r_f)T}$

储存成本

储存成本可以被看做是负的收入（收益率）：

• 若单位时间内的储存成本$u$被表示为资产价值的百分比

  • 对投资资产：$F_0= S_0e^{(r+u)T}$
  • 对消费资产：$F_0\leq S_0e^{(r+u)T}$

• 若储存成本$U$被表示为成本的现值

  • 对投资资产：$F_0= (S_0+U)e^{rT}$
  • 对消费资产：$F_0\leq (S_0+U)e^{rT}$

持有成本

• 持有成本(the cost of carry)， $c$，是储存成本加上利息成本减去获得的收入

• 对投资资产：$F_0 = S_0e^{cT}$

• 对消费资产：$F_0 \leq S_0e^{cT}$

• 一项消费资产的\textbf{便利收益率（the convenience yield）} ，$y$，被定义以满足：
  $$F_0 = S_0e^{(c-y )T}$$

期货价格与未来现货价格的期望

• 假设投资者对一个资产要求的期望收益率为$k$

• 可以通过以无风险利率投资$F_0e^{-r T}$同时进入一个远期合约多头的方式在未来创造价值为$S_T$的现金流
  $$F_0e^{-rT}e^{kT}=E[S_T]\text{ or }F_0=E[S_T]e^{(r-k)T}$$

• 这说明：

  • 无系统性风险：$k=r$, $F_0=E[S_T]$
  • 系统性风险为正：$k>r$, $F_0<E[S_T]$
  • 系统性风险为负：$k<r$, $F_0>E[S_T]$

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课后阅读与练习

课后阅读与练习

• 课后阅读：教材第九章

• 练习

  • 教材pp152：1-5
  • 扫码练习

课堂练习

[1]某股票当前价格为65美元，该股票在未来1年不支付股利，市场无风险利率为5%(连续复利)，该股票1年期的远期价格为多少？

[2]某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票目前市价等于30，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头，请问：

• (a) 该远期价格等于多少？若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价值等于多少？
• (b) 3个月后，该股票价格涨到35元，无风险利率仍为6%，此时远期价格和该合约空头价值等于多少？

[3] 某投资者能以每盎司$560的价格买进和$559的价格卖出黄金，以6%的年利率借入和5.5%的年利率贷出资金（均为连续复利），当黄金期货价格在什么范围内波动时，该投资者不能进行套利？（提示：$e^{6\%}=1.0618$，$e^{5.5\%}=1.0565$）

[4] A stock is expected to pay a dividend of $1 per share in 2 months and in 5 months. The stock price is $50, and tlle risk-free rate of interest is 8% per annum with continuous compounding for all maturities. An investor has just taken a short position in a 6-month forward contract on the stock.

• (a) What are the forward price and the initial value of the forward contract?
• (b) Three months later, the price of the stock is $48 and the isk-free rate of interest is still 8% per annum. What are the forward price and the value of the short position in the forward contract?

[5] 假设S&P 500指数为1,000，S&P 500指数期货价格为1,010。某基金经理正管理一个股票组合，其价值为$5,050,000，beta系数为1.5。已知一份期货合约交割的金额为$250与指数的乘积，如果该基金经理希望将股票组合的beta调整为3，他该怎么做？

[6] The following table gives data on monthly changes in the spot price and the futures price for a certain commodity. Use the data to calculate a minimum variance hedge ratio.

Spot price change	$+0.50$	$+0.61$	$-0.22$	$-0.35$	$+0.79$	$+0.04$	$+0.15$	$+0.70$	$-0.51$	$-0.41$
Futures price change	$+0.56$	$+0.63$	$-0.12$	$-0.44$	$+0.60$	$-0.06$	$+0.01$	$+0.80$	$-0.56$	$-0.46$